Benjamin Ferrington.-La ciencia griega Capitulo III Pitagoras

Los griegos posteriores reconocieron úna doble tradición en la historia de sus ideas sobre la naturaleza de las cosas: la puramente naturalista o materialista, o —como se la llama a menudo— la tradición atea de Jonia, y la tradición religiosa, que comienza con Pitágoras en la Magna Grecia, en Occidente.

Platón, en el décimo libro de sus Leyes resume las características de ambos sistemas de pensamiento. La opinión que nos da de los naturalistas jónicos dice así: Los cuatro elementos, tierra, aire, fuego y agua, existen todos natural y casualmente, y ninguno por designio o providencia. Los cuerpos que les han sucedido, el Sol, la Luna, la Tierra y las estrellas, se han originado en esos elementos totalmente inanimados, que se mueven por una fuerza inmanente, según ciertas afinidades mutuas. De esta manera fue creado el cielo todo y cuanto hay en él. También las plantas y los animales. Las estaciones también resultan de la acción de estos elementos, no de la acción de alguna mente, Dios o providencia, sino natural y casualmente. La intención nació después, independientemente de ellas: mortal y de nacimiento mortal. Las diversas artes, materializaciones de la intención, han surgido para cooperar con la naturaleza, dándonos artes como la medicina, la labranza y aun la legislación. Los mismos dioses no eran producto de la naturaleza, sino de la intención contenida en las leyes de los diferentes Estados donde se les adoraba. También la moral, como la religión, es producto de la intención humana. Los principios de justicia no existían en la naturaleza: eran simples convenciones. Resumiendo: los filósofos naturales sostenían que el fuego, el agua, la tierra y el aire eran los elementos primarios de todas las cosas; que ellos constituyen la Naturaleza, y que de ellos se originó posteriormente el alma.

Platón sugiere después las ideas principales de la tradición religiosa del pensamiento, que es la suya propia. De acuerdo con esta teoría, el alma es la primera de las cosas. Existió antes que todos los cuerpos, y es el factor principal de sus cambios y transposiciones. Las cosas del alma preceden a las del cuerpo; es decir, que el pensamiento, la atención, la mente, la intención y la ley son anteriores a las cualidades de la materia. El designio, la mente o la providencia fueron antes; después la naturaleza y sus obras. Lo que llamamos naturaleza está bajo el gobierno del designio o de la mente. Tal es la tradición que se supone comenzó con Pitágoras. De aquí en adelante debemos recordar esta doble tradición, que se encuentra a menudo en un mismo filósofo.

Pitágoras no sólo es el fundador de la tradición religiosa, sino también uno de los más ilustres hombres de ciencia de Grecia. Griego, jónico por su origen, probablemente (como también se dice de Tales), tenía sangre fenicia en sus venas. Emigró a Occidente cuando el dominio persa se extendió hasta el Egeo, amenazando las libertades de los griegos asiáticos. Se estableció en Crotona, en la Italia meridional. Es el fundador de la cultura europea en la órbita del Mediterráneo occidental.

Pitágoras nació en la isla de Samos, que en aquel entonces, como la ciudad de Mileto, que vio nacer la ciencia griega, era una potencia comercial en creciente progreso. Polícrates, su dictador, había destruido el poder de la aristocracia terrateniente, y gobernaba la isla con el apoyo de los comerciantes. Para conveniencia de éstos, amplió y mejoró el puerto; al crecer la ciudad capital, hizo que se llevara a cabo una de las obras más sorprendentes de la ingeniería antigua. Hizo llamar un ingeniero de Megara, de nombre Eupalino, le ordenó excavar un túnel a través de la colina de Kastro, que sirviera como acueducto para abastecer a la ciudad.

Dicho túnel, que tiene más de 600 metros de longitud, fue comenzado simultáneamente por ambos extremos. Las excavaciones modernas revelan que cuando los dos equipos se encontraron a mitad de camino, la falta de coincidencia de las perforaciones era de poco más de medio metro.

El hecho está lleno de sugerencias y enseñanzas para la historia de la ciencia. Si sólo dependiéramos de las constancias escritas deberíamos esperar a que un escritor posterior, Herón de Alejandría, que vivió probablemente en el siglo II de la Era Cristiana, nos explicara con una construcción geométrica cómo realizar esa proeza. Pero la obra fue llevada a cabo, y con toda corrección, 600 años antes, por lo que podemos estar seguros de que el conocimiento matemático necesario existía ya entonces, aunque no tengamos testimonios escritos de ello.

Pitágoras tenía alrededor de 40 años cuando, hacia el año 530 a. C., la conquista persa de Jonia trastornó sus planes en Samos, y huyó a refugiarse en Crotona. Como ya sabría, sin duda, antes de tentar esta aventura, encontró una ciudad comercial semejante a la suya. Era un político activo, y es probable que allí se vinculara a la clase de los comerciantes, que ocupaba, como en todas partes, una posición intermedia entre la aristocracia terrateniente y los campesinos y obreros. Adquirió gran influencia y reformó la vida política y religiosa de su patria adoptiva. El profesor George Thomson, en su Æschylus and Athens, compara su posición con la de Calvino en Ginebra.

TRADICIÓN RELIGIOSA DE LA FILOSOFÍA GRIEGA

Sin embargo, como ya se ha dicho, Pitágoras no fue sólo un reformador religioso y político, sino también hombre de ciencia. Comprenderemos mejor su ciencia si tenemos presentes sus ideas religiosas y políticas, que estaban íntimamente ligadas. La comunidad pitagórica fue una hermandad religiosa dedicada a la práctica del ascetismo y al estudio de las matemáticas. Sus miembros debían hacer examen de conciencia diariamente. Creían en la inmortalidad del alma y en su transmigración. El cuerpo mortal perecedero era la prisión o tumba que el alma habitaba temporalmente. Estas creencias eran compartidas por los devotos de las otras religiones de los misterios difundidas entonces en Grecia. El pitagorismo era una forma artificiosa de misterio religioso. La particularidad de este sistema fue encontrar en las matemáticas una clave para resolver el enigma del universo y un instrumento para la purificación del alma. Decía Plutarco, como buen pitagórico: «La función de la geometría es conducirnos de lo sensible y perecedero a lo inteligible y eterno, pues la contemplación de lo eterno es el fin de la filosofía, como la contemplación de los misterios es el fin de la religión». El paralelo es significativo. Los pitagóricos fueron los iniciadores de la actitud religiosa respecto a lo matemático. A decir verdad, no despreciaron —por lo menos en los primeros tiempos de la escuela— la aplicación práctica de las matemáticas. A la influencia pitagórica se debe la planificación sistemática de ciudades, comenzado en Grecia en este período; pero el incremento de la mística religiosa basada en las matemáticas debe también atribuirse a dicha escuela.

EL UNIVERSO MATEMÁTICO

Ésta hizo rápidamente grandes progresos en geometría y en la teoría de los números. Se acepta que a mediados del siglo V a. C. se había alcanzado la mayoría de las conclusiones que Euclides sistematizó en los libros I, II, VII y IX de sus Elementos. Es ésta una una conquista de primer orden. Pero si estudiamos sus conceptos matemáticos en las notables páginas de la famosa obra de Euclides, no dejaremos de advertir su otro aspecto: el fervor religioso con que sostiene sus ideas. Una cita de Filolao, un pitagórico del siglo V, nos ayudará a verlo.

Este autor dice: «Consideremos los efectos y la naturaleza del número conforme al poder que reside en la decena. Es grande, todopoderoso y autosuficiente, principio primero y guía de los dioses, del cielo y del hombre. Sin él todo es ilimitado, oscuro e inescrutable. La naturaleza del número ha de ser punto de referencia, guía y orientación de toda duda o dificultad. Si no fuera por el número y por su naturaleza, nada de cuanto existe podría ser comprendido por nadie, ni en sí mismo, ni con relación a otras cosas… Podemos observar el poder del número influyendo, no sólo en los asuntos de los demonios y de los dioses, sino en todos los actos y pensamientos del hombre, y en todos los oficios y en la música. Ni la armonía ni la naturaleza del número admiten falsedad alguna. La falsedad es incompatible con él. La falsedad y la envidia sólo son compatibles con lo ilimitado, lo ininteligible y lo irracional».

Este pasaje hace algo más que destacar el aspecto religioso de la matemática pitagórica. También señala la importancia de la matemática para las artes prácticas. Ésta es una característica de los primeros tiempos de la filosofía griega, y en cierto modo persiste en la posterior. Como puede observarse en la cita con que comenzamos este capítulo, Platón asoció la filosofía jonia con una teoría definida de la naturaleza y la función social de las artes prácticas. Para los jonios primitivos no había diferencia esencial entre los procesos técnicos y los naturales. La hipótesis jonia de que la naturaleza era inteligible se fundaba en el concepto de que las artes prácticas eran esfuerzos inteligentes del hombre para cooperar con la naturaleza, para su propio bien. Los pitagóricos, promotores del gran sistema filosófico que seguiría después, aún compartían la misma concepción. Para ellos, el número no era sólo el principio primero de los cielos, sino que mostraba también su poder «en todos los oficios». La armonía originada por los números será siempre nuestro tema, sea cual fuere la parte de la filosofía pitagórica que examinemos. Aquí nos limitaremos a las dos ramas del conocimiento más poderosamente influidas por la teoría matemática de Pitágoras: la cosmología y la música.

La cosmología de los pitagóricos es muy curiosa e importante. No intentaban éstos, Como los jonios, describir el universo en términos de comportamiento de ciertos elementos materiales y procesos físicos, sino que lo describen exclusivamente en términos numéricos. Mucho después dijo Aristóteles que consideraban el número como origen y forma del universo. Los números constituían el verdadero elemento de que el mundo estaba hecho. Llamaban Uno al punto, Dos a la línea, Tres a la superficie y Cuatro al sólido, de acuerdo con el número mínimo de puntos necesarios para definir cada una de esas dimensiones. Pero sus puntos tenían tamaño; sus líneas, anchura, y sus superficies, profundidad. Los puntos se sumaban para formar las líneas; éstas, a su vez, para formar superficies, y éstas para los sólidos. A partir de sus Uno, Dos, Tres y Cuatro podían construir un mundo. No nos extrañe que Diez, la suma de estos números, tuviera un poder sagrado y omnipotente. Se infiere también que la teoría de los números, que tanto lograron perfeccionar, fue para ellos algo más que matemática: fue también física.

La identificación de los números con las cosas puede parecer sorprendente al estudiante. Lo intrigará menos si sigue el camino que llevó a Pitágoras a este concepto. Hemos hablado de su estudio acerca de la teoría del número. En este estudio, el método consistía en emplear lo que llamaban números figurados.

Representaban así los números triangulares:

y así sucesivamente; así los números cuadrados:

y así sucesivamente; y de esta manera los números pentagonales:

y así sucesivamente.

Esta nueva técnica de analizar las propiedades de los números fue lo que hizo posible su identificación con las cosas, determinando, como veremos luego, las características de su sistema cosmológico.

Esta filosofía matemática apareció rivalizando con la filosofía natural de los jonios. Resulta evidente que como teoría del universo contiene menos de intuición sensible y más de pensamiento abstracto que la concepción jónica. Las relaciones matemáticas pasan a ocupar el lugar de los procesos o estados físicos como la rarefacción y la condensación, o la tensión. El universo, según sostenían los pitagóricos, podría comprenderse mejor y más rápidamente dibujando diagonales en la arena, que pensando en fenómenos tales como la formación de las playas, la sedimentación en la desembocadura de los ríos, la evaporación, la elaboración del fieltro, etcétera, y en esto está el peligro. Esta interpretación matemática se ajustaba a los principios religiosos y sociales de la escuela. Las matemáticas no sólo parecían haber explicado las cosas mejor que la concepción jónica, sino que también contribuían a mantener el alma de los adeptos libre de contactos con lo terreno y material, y se adaptaban al temperamento cambiante de un pueblo en el que el desprecio por el trabajo manual se hermanaba con el incremento de la esclavitud. En una sociedad en la que todo contacto con los procesos técnicos de la producción era tanto más vergonzante cuanto que era propia sólo de esclavos, se consideraba deseable el hecho que la constitución secreta de las cosas no se revelara a aquellos que las manipulaban, ni a los que trabajaban con el fuego, sino a los que hacían figuras en la arena. Para Heráclito —que asistió al fin de una escuela de pensamiento en que la técnica industrial había desempeñado un papel significativo, proporcionando las ideas que servían para explicar a la naturaleza— nada más natural que considerar al fuego, principal agente en la manipulación técnica de las cosas materiales, como el elemento fundamental. La sustitución del fuego por el número, como principio fundamental, marca una etapa en la separación de la filosofía de la técnica de la producción. Esta separación es de importancia fundamental en la interpretación de la historia del pensamiento griego. La asociación de la fragua, la soldadura, el fuelle y el torno del alfarero pierde influencia sobre el pensamiento griego en relación con el desarrollo —más aristocrático— de la teoría de los números y la geometría.

Habiendo construido la materia a partir de números, los pitagóricos procedieron luego a ordenar los principales elementos del universo según un plan que contenía poca observación de la naturaleza y mucho razonamiento matemático apriorístico. Al vincular los valores morales y estéticos con las relaciones matemáticas, y al sostener la naturaleza divina de los cuerpos celestes, no les era difícil decidir que éstos eran esferas perfectas y que describían órbitas perfectamente circulares, teniendo aquí la palabra perfecto significación moral y matemática. No probaron que los cuerpos celestes fueran esferas perfectas, ni que describieran circunferencias perfectas; no obstante, el hecho de que los pitagóricos realizaran grandes progresos en matemática y aplicaran su nueva técnica a la astronomía les adjudica la primicia en este terreno. Su concepción del universo tiene trascendencia histórica. El fuego ocupaba la parte central; alrededor de él giraban la Tierra, la Luna, el Sol, los cinco planetas y el cielo de las estrellas fijas. Suponían que la distancia de los cuerpos celestes al fuego central correspondía a los intervalos de las notas de la escala musical. Esto proporcionó el plan básico para las investigaciones posteriores. Se terminaron los tubos de fuego de Anaximandro, que pueden parecemos primitivos en algún aspecto, pero que constituían un esfuerzo por brindar un modelo mecánico del universo y fueron reemplazados por una astronomía enteramente geométrica, que aspiraba a determinar la posición de los cuerpos celestes considerados divinos. Amplios progresos logrados en la comprensión de las dimensiones relativas, distancia y posición de los cuerpos celestes —resultado de la aplicación de una nueva técnica a unas pocas observaciones— transformarían, a través de los siglos, el simple plan pitagórico en el complicado sistema de Tolomeo, que no será discutido seriamente hasta el siglo XVI de nuestra era. De aquí en adelante, los cuerpos celestes divinizados, y por ende inmortales, dejan de tener historia. Son eliminados —no sin dificultad— de la esfera de la filosofía natural e incorporados a la teología.

La contribución de los pitagóricos a la música o, para ser más precisos, a la acústica, es aún más interesante que la cosmología. ¿Cómo descubrieron los intervalos fijos de la escala musical? Es razonable suponer que este descubrimiento es uno de los primeros triunfos del método de la observación y la experimentación. Existe una versión de un escritor posterior, Boecio, que vivió en el siglo VI de la era cristiana; puesto que es una historia de aquéllas que la Antigüedad tendía más a olvidar que a inventar, estoy de acuerdo con Brunet y Mieli, en que es probablemente cierta. He aquí el relato de Boecio ligeramente resumido:

Pitágoras, obsesionado por el problema de explicarse matemáticamente los intervalos fijos de la escala, acertó a pasar, por la gracia de Dios, frente a una herrería; le llamó la atención la musicalidad de los golpes de los martillos sobre el yunque. Fue irresistible la oportunidad que se le ofrecía de analizar el problema en otras condiciones. Entró y observó largamente. Pensó que las diferentes notas fueran proporcionales a las fuerzas de los hombres. «¿No querrían intercambiar los martillos?». Se evidenció el error de su idea primera, pues el resultado fue el mismo. La explicación debía de estar en los martillos, no en los hombres.

Se utilizaban cinco martillos, «¿se le permitiría pesarlos?». ¡Oh! ¡Milagro de los milagros! El peso de cuatro de ellos estaba en la proporción de 12, 9, 8 y 6. El quinto, cuyo peso no correspondía a relación numérica alguna con el resto, era el que echaba a perder la perfección del repiqueteo. Fue retirado, y Pitágoras volvió a escuchar. En efecto, el mayor de los martillos, cuyo peso era doble del más pequeño, daba la octava más baja. La doctrina de la media aritmética y armónica (12-9-6 y 12-8-6) le dio la clave del hecho de que los otros dos martillos dieran las otras notas fijas de la escala. Dios quiso, seguramente, que pasara frente a la herrería. Fue corriendo a casa a continuar sus experimentos, ahora en condiciones que podríamos llamar de laboratorio.

¿Era la relación matemática observada la única razón de la armonía entre aquellas notas? Pitágoras ensayó otro medio: hizo vibrar cuerdas. Descubrió que la nota emitida estaba relacionada con la longitud. Pero ¿qué tendrían que ver la tensión y el grosor de las cuerdas? También experimentó estos dos puntos. Finalmente, volviendo a la relación de longitudes, ensayó otra vez con flautas de caña de dimensiones adecuadas. Entonces se convenció.

Ésta es la tradición que nos ha legado Boecio.

Hay en ella algo de confuso. La experiencia de los martillos no pudo dar el resultado que se le atribuye. Si hubiese hecho experimentos con la tensión, los resultados le habrían sorprendido. El número de vibraciones de una cuerda tensa no es proporcional al peso que la estira, sino a la raíz cuadrada del peso. Nos faltan evidencias de que Pitágoras o cualquier otro de sus contemporáneos supiera esto. Sin embargo, estos experimentos son de significado crucial en la historia de la ciencia.

Se admite que los griegos nunca practicaron la experimentación con la profundidad y sistematización que caracterizan a la de nuestro tiempo. Eso no significa que no la practicaran. Brunet y Mieli afirman con razón que estos experimentos «constituyen una refutación categórica a la creencia sustentada por muchos, de que los griegos ignoraban la ciencia experimental. Importa destacar —agregan— que la tradición atribuye el descubrimiento al mismo Pitágoras, y en este caso la atribución resulta enteramente aceptable. El desarrollo de los métodos experimentales aplicados a la acústica y a otras partes de la física es uno de los títulos de gloria más legítimos de la escuela de los pitagóricos» (Obra cit., pág. 121).

Queda por agregar algo acerca de la crisis que soportó la concepción geométrica que del mundo tenían los pitagóricos al promediar el siglo V. Éstos, como se ha dicho, construyeron el mundo a partir de puntos con magnitud. Sería imposible decir el número de puntos que había en una línea determinada, pero, teóricamente, éste debía ser finito. Luego, por el progreso de su propia ciencia matemática, su fundamentación del universo fue barrida repentinamente. Se descubrió que la diagonal y el lado del cuadrado eran inconmensurables. √2 es un número «irracional». Ellos crearon el término que nos señala la sorpresa de quienes, sosteniendo que el número y la razón son una misma cosa, no podían expresar √2 con número alguno. La confusión fue grande. Si la diagonal y el lado de un cuadrado eran inconmensurables, se deduce que las líneas son infinitamente divisibles. Si las líneas son infinitamente divisibles, los pequeños puntos que sirvieron a los pitagóricos para construir el universo, no existen, o, si existen, deben ser descritos de otro modo, y no en términos meramente matemáticos.

El siglo V a. C. fue también testigo de la crisis de la física.